В наши дни школьник получает первичные знания по математике. Еще до школы ребята учатся считать, а затем на уроках получают представление о неограниченности числового ряда, об элементах геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучают начало алгебры и математического анализа. Эти знания абсолютно необходимы каждому молодому человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим, инженером, механизатором, врачом, офицером или ученым.

Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать. Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И в наше время, как и в далеком прошлом, практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Именно в этом причина современного бурного развития математики, появление новых ее ветвей, позволяющих глубже и деятельнее изучать явления окружающего нас мира и решать конкретные практические задачи, которые неизбежно возникают в связи с прогрессом инженерного дела и науки.


обы решить их, необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования. «удовлетворение получаешь только тогда, когда преодолеваешь трудности, когда удается найти такой путь, который приводит к решению задачи, казавшейся раньше неразрешимой».

Каждому ясно, что без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс физики, инженерного дела и организации производства, так и остались бы нерешенными многие принципиальные проблемы авиации и космонавтики, метеорологии и радиотехники. В наши дни без предварительных расчетов на заводе не начнут производство ни одной сложной машины, не станут модернизировать технологический процесс.

Совершены полеты в космос, и в их осуществлении математика занимает почетное место. Расчет конструкций ракет, траекторий движения, построение моделей бомбардировки поверхностей ракеты метеоритами и метеоритной пылью – это лишь малая часть тех отраслей естествознания и техники, где широко и по существу дела использовалась математика. Достаточно много говорит и тот факт, что о существовании ряда элементарных частиц удалось узнать не опытным путем, а из результатов математических расчетов.


Вот поэтому хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, астрономии или инженерного дела, но и тем, кто станет экономистом, организатором производства, астрономом, квалифицированным рабочим. Математический стиль мышления, умение рассуждать строго, без логических скачков нужны также будущим юристам и историкам, биологам и лингвистам, врачам.

Начало нового тысячелетия заставляет задуматься о тысячелетиях минувших. Все люди оглядываются на пройденный путь. По-новому осмысливают свою жизнь, жизнь своих предков, ход истории, в том числе и истории науки.

«Кто хочет ограничиваться на- стоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

Лейбниц Г. В.

С именем Пифагора связано много различных рассказов и легенд. В некоторых из них приписываются заслуги явно ему не принадлежащие. Так, в одной из славянских рукописей XVII века утверждается, что Пифагор положил начало арифметике. Что касается фактов из жизни Пифагора, то здесь отделить правду от вымысла очень трудно, тем более, что его ученики приписывали ему многое, чтобы возвысить своего учителя в глазах народа.

По преданию Пифагор родился на острове Самос, что находится в Эгейском море недалеко от побережья Малой Азии. В молодости Пифагор много путешествовал, побывал в Египте и проник через Малую Азию караванными путями в Вавилон. Будто бы повсюду и везде он по крупицам собирал знания древнейших народов по математике, астрономии, технике и что, вернувшись на свою родину, он так поразил приобретенными знаниями своих соотечественников, что его считали полубогом.


льнейшие сведения о жизни Пифагора становятся более достоверными. Вернувшись на остров Самос, Пифагор собирает вокруг себя юношей из благородных семей и ведет с ними тайные беседы. Никто не знает, чему он их учит. Поликрат, правитель острова, боясь, что под прикрытием этих тайных бесед зреет заговор против него, велит своим людям следить за ними. Пифагор, возмущенный этим, навсегда покидает родной остров и поселяется в одном из греческих городов Южной Италии – Кротоне.

Здесь происходит борьба между знатью и народом за власть над городом. У знати есть вождь – атлет Милон, но нет человека, который мог бы философски обосновать необходимость передачи власти над городом в руки богатых. И вот появляется Пифагор. Слава о нем достигла и города Кротона. Пифагор учит: «Посмотрите вокруг себя. Везде в мире порядок, все подчинено гармонии, мере. Даже звуки и те подчинены числамВезде в природе господствует стройный порядок, установленный богами. Даже небесные светила и звезды подчиняются ему. Как же может не подчиняться ему человек? Горе тому городу, где нет почтения древнему строю».

Все больше и больше учеников у Пифагора. Они объединяются в союз, союз посвященных, куда не могут проникнуть простые люди. В союзе царит дисциплина, послушание, слово учителя – все. Учение его, противоречившее народной религии, хранилось втайне. Ученикам Пифагора предстояли годы испытаний, пока дозволялось им вступить в заветный круг посвященных. Для посвящения недостаточно было долгого внимательного учения, но весь образ жизни должен был сообразоваться с основной мыслью Пифагора.


Ученики с женами и детьми жили вместе с наставником, вставали рано при первых лучах солнца, с торжественными песнями и музыкой, отправлялись навстречу великолепному светилу. После того философ сообщал им сведения о важнейших предметах человеческого знания, особенно же часто занимал их математикой, в области которой Пифагору принадлежат многие весьма важные теоремы.

Простой завтрак, состоящий из хлеба с медом и водою, следовал за утренними телесными упражнениями и играми; дружеский разговор, беседа о государственном устройстве наполняли остальные часы дня. Вечер посвящался купанию, ужину, пению и музыке.

Члены братства преклонялись перед своим руководителем и даже обожествляли его. Им запрещалось разглашать открытия своей школы. Обет молчания, даваемый пифагорейцами, нашел отражение в символе – «Бык на языке», что на современный лад означает «Держи язык за зубами». Вообще, пифагорейцы имели множество символических изречений, смысл которых часто был непонятен и неоднозначен. Собрание этих изречений – символов, называемых акусмами (- услышанное), заменяло собой устав общества. В основном акусмы регулировали скорее внешнюю сторону жизни пифагорейцев, тогда как «Золотые стихи» ставили целью их нравственное совершенстование. Вот некоторые из пифагорейских акусм и их толкование:


Сердце не ешь (т. е. не подтачивай душу страстями или горем).

Огня ножом не вороши (т. е. не задевай гневных людей).

Через весы не шагай (т. е. не нарушай справедливости).

Уходя, не огладывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).

Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).

Будь с теми, кто ношу взваливает, а не с теми, кто ее сваливает (т. е. живи в труде).

Ласточек в доме не держи (т. е. не привечай в доме шептунов и доносчиков).

Но до нас дошла легенда о наказании богами пифагорейца Гиппаса Месапонтского за то, что он посвятил «недостойных» в тайну несоизмеримости. По другой версии, Гиппас погиб в море за то, что рассказал о «шаре с двенадцатью пятиугольниками».

Но главным пифагорейским символом – символом здоровья и опознавательным знаком – был пентаграмма, или пифагорейская звезда, — звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Пентаграмма обладает замечательными магическими свойствами. Она содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую.

— арифметическое среднее геометрическое среднее гармоническое среднее

Среди множества геометрических средних уникальными свойствами обладает одно, делящее данный отрезок на две части в геометрической пропорции так, что отношение целого отрезка к его большей части равняется отношению большей части к меньшей, т. е. Эта пропорция и получила название «золотой».


Столь необычайное пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического содержания являются основой и красоты ее внешней формы. Пентаграмма пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Но первыми, кто обратил пятиконечную звезду в символ, были опять-таки пифагорейцы. Видимо, поэтому пентаграмма и была выбрана в качестве главного пифагорейского символа.

Поразительным является и еще одно обстоятельство. Звездчатый пятиугольник обладает поворотной симметрией пятого порядка. Но именно этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (вспомним цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони, малины, рябины и т. д. ) и принципиально невозможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию пятого порядка называют симметрией жизни; это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности. И именно геометрическую фигуру с симметрией пятого порядка пифагорейцы выбирают в качестве символа здоровья и жизни! Что это – случайное совпадение или проницательный взгляд пифагорейцев заметил и эту особенность живой природы?!

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостеприимным хозяином дома, ухаживающим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пойдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет », — сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и вознаградил его.


«Союз дружбы» становится политическим союзом единомышленников, занимающихся не только наукой, но и мечтающих похитить власть у народа. И они добиваются этого. Власть над городом в их руках. Но пифагорейцы не успокаиваются на этом. Они стремятся установить такой же «порядок», такую же «гармонию» и в других городах. Это им также удается.

Но идет время, и в самом Кротоне зреет недовольство правящей знатью и союзом пифагорейцев. Появляются недовольные и среди членов союза. Многие требуют изгнания пифагорейцев. Пифагор покидает город. В эту же ночь разгневанная толпа народа – рыбаки, ремесленники, городская беднота – окружает дом Милона, где собрались пифагорейцы, и уничтожают их.

А сам Пифагор бежит дальше – в Метапонт, но и там его преследует гнев народа, и девяностолетний учитель погибает в одной из ночных схваток.

Такова политическая судьба Пифагора и основанного им союза. Впрочем, братство не погибло, но втайне, а впоследствии и явно, приобретало приверженцев, и, хотя никогда уже не достигало такого значительного влияния над обществом, как вначале, тем не менее идеи великого основателя пифагоризма не погибли: они отразились в учениях последующих времен. То, что было ранее при жизни Пифагора, тайной для других, стало достоянием всех.


Математика, как теория, получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н. э. ). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию – открытие новых математических фактов. По форме – построение арифметики и геометрии как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Пифагорейцы называли собственные исследования «математа», что означает «науки» и делили их на 4 части: арифметику, геометрию, астрономию, гармонию (учение о музыке). Главной считалась арифметика – наука о числах. Именно она лежала в основе и геометрии, и астрономии, и гармонии.

«Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными», «сущность вещей есть число, которое вносит во все единство и гармонию», «все есть число» — вот такие положения проповедовали пифагорейцы.

Поэтому недаром многие математики оставили после себя афоризмы, посвященные математике.

«Математика – царица наук, арифметика – царица математики».

К. Ф. Гаусс

«Число управляет всем миром количественно, а четыре правила арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математики».

Д. К. Максвелл

«Арифметика – одна из древнейших, возможно, самая древняя отрасль человеческого знания, и в то же время наиболее глубокие тайны находятся где-то рядом с ее избитыми истинами».


Х. Д. С. Смит

В строительстве сооружений древности – пирамид, дворцов и храмов – применялись плиты и кирпичи, имеющие грани в виде треугольника, четырехугольника, квадрата и некоторых других фигур. С этими же фигурами человек встречался при межевании и измерении земельных участков. Знакомясь с разными геометрическими фигурами, люди стали подмечать и их общие свойства. Так постепенно начала складываться геометрия – наука о фигурах. Геометрия достигла высокого развития в Древней Греции в школе Пифагора (VI-V вв. до н. э. ).

Пифагор и его учение развивали не только геометрию, но и арифметику, причем их учение о числах переплеталось с учением о геометрических фигурах. Пифагорейцы составляли из костяшек или камешков различные фигуры, изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры: линейные числа (т. е. простые числа) – числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представлены в виде последовательности точек, выстроенных в линию

Числа, которые возможно представить с помощью геометрических фигур, получили в дальнейшем название фигурных. Фигурные числа встречаются не только у пифагорейцев, но и других греческих ученых: Эратосфена (III-II вв. до н. э. ), Никомаха (II-I вв. до н. э. ), Диофанта (III век до н. э. ). Фигурными числами занимались также индийские математики.


Интересными из фигурных чисел являются треугольные числа:

1; 3; 6; 10;15; 21; 28; 36;

На рис. 6. эти числа изображены количеством точек на сторонах треугольника. В равностороннем треугольнике ABC, сторона которого равна 1, сумма всех сторон (периметр) равна 3, об этом говорят три точки, размещенные в вершине треугольника.

Удлинив стороны AB и AC в два, три, четыре и т. д. раза и соединив концы сторон, получим новые равносторонние треугольники с периметрами, равными 6, 10, и т. д. Последовательность треугольных чисел можно легко составить следующим образом: из ряда чисел1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; берем первое число 1, затем сумму первых двух (1+2=3), сумму первых трех (1+2+3=), четырех (1+2+3+4=10) и т. д.

Квадратными называются числа ряда: 1; 4; 9; 16; 25; 36; , т. е. квадраты натуральных чисел: 1; 2; 3; 4; 5; 6; Таким образом n-е число в ряду квадратных чисел есть n2.

Выше было указано, что ряд треугольных чисел получается путем последовательного суммирования чисел натурального ряда. Аналогично можно получить ряд квадратных чисел из ряда нечетных чисел: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; Действительно, 1+3=4; 1+3+5=9; 1+3+5+7=16; Один из видных древнегреческих математиков – Диофант, живший в III веке до н. э. , нашел формулу, связывающую треугольные числа с квадратными. Если обозначить любое треугольное число буквой Т, то 8Т+1=К, где К – квадратное число. Например, Т=6, К=8*6+1=49.

Кроме фигурных чисел пифагорейцами были введены и «дружественные» числа. Так были названы два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Например, 220 и 284. Делители первого числа, не считая самого числа, так называемые «собственные» делители числа 220, т. е. числа 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110, дают в сумме 284. Аналогично сумма собственных делителей числа 284, т. е. чисел 1; 2; 4; 71; 142, равна 220. Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел. В XVIII веке Л. Эйлер нашел 65 пар дружественных чисел. Одна из них: 17296 и 18416. Сумма собственных делителей числа 17296, т. е. числа 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188, 368, 376, 752, 1081, 2162, 4324, 8648, равна 18416, а сумма собственных делителей числа 18416, т. е. числа 1, 2, 4, 8, 16, 1151, 2302, 4604, 9208, равна 17296. Однако до сих пор не найдена общая формула для получения пар дружественных чисел.

Как было показано выше, число 220 меньше суммы своих (собственных) делителей – такие числа называли недостаточными, число же 284 больше суммы своих делителей – такие числа называли избыточными. Однако есть числа, которые в точности равны сумме своих делителей. Например, число 6. Его собственные делители – 1; 2; 3. Имеем 6=1+2+3.

Пифагорейцы считали замечательными все числа, обладающие таким свойством, и называли их «совершенными». Они знали только три таких числа: 6; 28; 496.

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

В «Арифметике» Никомаха из Герады (I век до н. э. ) имеется четвертое совершенное число: 8128. Никомах писал: «Совершенные числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны. Большинство чисел являются избыочными или недостаточными, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц их всего лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч». Я сама проверила, является ли совершенным числом 8128. Итак, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.

Из сказанного видно, что по мере продвижения от начала в натуральном ряду совершенные числа встречаются все реже и реже. В первых 10000 имеется всего 4 совершенных числа.

Пятое совершенное число было найдено немецким математиком Региомонтаном (XV век до н. э. ). Это число 33550336. В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8589869056 и 137438691328.

На сегодняшний день известно 27 совершенных чисел. Это двадцать седьмое число имеет вид 244496 (244497-1) и найдено с помощью электронных счетных машин. Все совершенные числа – четные. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа.

Древнее происхождение имеют также таблицы умножения. Ими пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. Наиболее ранняя, дошедшая до нас, таблица умножения от 1х1 до 10х10 содержится в «Арифметике» греческого математика Никомаха из Герады (I-II века). Она представлена в виде квадрата, где каждая сторона имеет одинаковый с ней столбец. Эта таблица передавалась от народа к народу, из поколения в поколение и поныне используется в наших школах. Знание ее всегда считалось необходимым для каждого ученика. В средние века она получила название пифагоровской, хотя и была известна задолго до него .

Таблица Пифагора

2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Рис. 8.

Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом.

Остается неизвестным, сколько и какие именно аксиомы положили ранние пифагорейцы в основу своей геометрии, но все они относились к планиметрии прямоугольных фигур. Изучались свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и других плоских фигур, сравнивались их площади. Важнейшей научной заслугой Пифагора систематическое введение доказательства в геометрию. Например, пусть мы хотим установить, чему равна сумма углов треугольника. Измерив десяток-другой треугольников, мы легко обнаружим, что эта сумма колеблется где-то около 1800, хотя мы вряд ли хоть раз получим точно 1800 или два одинаковых результата. Эти разночтения вызваны как погрешностью наших измерения, так и погрешностью самих измеряемых объектов, которые не являются идеально прямолинейными фигурами. Делая скидку на эти ошибки, мы можем предположить, что сумма углов треугольников все-таки равна 1800, хотя никакой уверенности в этом у нас быть не может, ибо треугольников существует опять-таки бесконечное множество.

Так вот, заслуга Пифагора и состояла в том, что он, по-видимому, первым пришел к следующей мысли: в геометрии, во-первых, должны рассматриваться абстрактные идеальные точки (точки – «то, что не имеет частей», линии – «длина без ширины», поверхности – «то, что имеет только длину и ширину» и т. д. ) и, во-вторых, свойства идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов. Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.

Но вернемся к задаче о сумме углов треугольника. Предание приписывает первое доказательство этой теоремы Пифагору. К сожалению, доказательство Пифагора не сохранилось, поэтому рассмотрим, как доказывает эту теорему Евклид. Обратим внимание на то, что каждый шаг в евклидовой цепочке доказательств обоснован. Именно так и должно строиться всякое математическое доказательство!

Итак, в книге I «Начал» Евклида мы находим: Во всяком треугольнике по продолжении одной из сторон внешний угол равен двум внутренним и противолежащим и внутренние три угла треугольника вместе равны двум прямым.

Доказательство: требуется доказать

и. Через точку С проведем прямую CE AB. Тогда и , откуда. Итак,.

Тогда. Но , тогда.

Что и требовалось доказать.

Венчало их систему знаний доказательство знаменитой теоремы Пифагора, которая до этого была известна как факт для некоторых частных случаев. Трудно переоценить значение теоремы Пифагора. Ее обобщение и сегодня лежит в основе определения всех метрических пространств.

Итак, теорема Пифагора. О ней писал в своих произведениях римский архитектор и инженер Ветрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III века Диоген Лаэрций, математик V века Прокл и многие другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка, или, как рассказывают другие 100 быков[3], послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX века участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик» написал следующее стихотворение:

Требует вечной истины, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Есть и другой текст перевода. Его сделал Хованский.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношение.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогую

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат

А. фон Шамиссо

Поэт Генрих Гейне (1797-1836 гг. ), известный своими антирелигиозными взглядами и язвительными насмешками над суевериями в одном из своих произведений высмеивает: «Кто знает! Кто знает! Душа Пифагора поселилась, быть может, в беднягу – кандидата, не сумевшего доказать теоремы Пифагора и потому провалившегося на экзамене, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых некогда Пифагор принес в жертву бессмертным богам, обрадованный открытием своей теоремы».

История Пифагоровой теоремы начинается задолго до Пифагора. На протяжении веков были даны многочисленные разные доказательства теоремы Пифагора. Одно из древнейших доказательств дано, как полагает Прокл, Евклидом и изложено им в «Началах».

Как формулировка, так и доказательство теоремы Пифагора имеют у Евклида чисто геометрический характер формул. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника BAC он строит соответствующие квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Ponsasinorum – «ослиный мост» или elefuga – «бегство убогих», т. к. некоторые «убогие» ученики, не имеющие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами» не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста.

В связи с сопровождающим доказательство Евклида, и другими, ему подобными, теорему Пифагора учащиеся называли также «ветряной мельницей», составляли стишки вроде:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны.

Многие из данных после Евклида доказательств теоремы Пифагора основываются на том, что равносторонние фигуры равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе, разбиваются на многоугольники так, что каждому многоугольнику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах.

Немало доказательств теоремы Пифагора основано на теории подобия.

Так как мы еще не изучали геометрию как предмет, то в свой реферат мы включили только исторический материал, посвященный теореме Пифагора. Но мы можем, используя формулу теоремы, найти тройки чисел, причем, целых, удовлетворяющих этому равенству: c2=a2+b2.

Одну тройку хорошо знают все (ими пользовались древние при построении прямоугольного треугольника и прямого угла): 3, 4, 5 – 32+42=52. Их называют пифагоровы тройки чисел. Можно научиться самим находить пифагоровы тройки чисел. Для этого нужно взять пару натуральных чисел m и n, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1) m>n;

2) одно из чисел m и n должно быть четным, а другое – нечетным;

3) m и n – взаимопростые числа, т. е. не имеют общих делителей, кроме 1.

Если такие числа m и n выбраны, то тройки пифагоровых чисел x, y и z находятся следующим образом: x = m2-n2; y = 2mn; z = m2+n2

Пример 1:

Пусть m=3, n=2. Тогда x=9-4=5, y==12, z=9+4=13 и 52+122=132 (25+144=169).

Пример 2:

Пусть m=6, n=5. Тогда x=36-25=11, y==60, z=25+36=61 и 112+602=612 (121+3600=3721).

Пример 3: Пусть m=8, n=7. Тогда x=64-49=15, y== 112, z=64+49=113 и 152+1122=1132 (225+12544=12769).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Если дан вам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

И. Дырченко

При составлении задач на прямоугольные треугольники для подбора целочисленных значений сторон будет полезна данная ниже таблица.

m n 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3, 4, 5 6, 8, 10 8, 15, 17 10, 24, 26 12, 35, 37 14, 48, 50 16, 63, 65 2 5, 12, 13 12, 16, 20 20, 21, 29 24, 32, 40 28, 45, 53 32, 60, 68 3 7, 24, 25 16, 30, 34 27, 36, 45 40, 42, 58 48, 55, 73 4 9, 40, 41 20, 48, 52 33, 56, 65 48, 64, 80 5 11, 60, 61 24, 70, 74 39, 80, 89 6 13, 84, 85 28, 96, 100 7 15, 112, 113

Например, пусть дан треугольник ABC

1) AB = 20, AC = 16, BC — ? По таблице находим, что BC = 12

2) AC = 36, BC = 27, AB — ? По таблице – AB = 45

Таблица поможет определить, например, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны 33, 56, 65.

Проверим равенство:

332 + 562 = 652

1089 + 3136 = 4225

4225 = 4225

Следовательно, треугольник – прямоугольник.

Заключение

Работая над рефератом, мы узнали очень много интересного и полезного из истории математики, о различных числах, производили вычисления, рисовали рисунки. Работа объединила нас, сделала ответственнее, научила работать в команде.

Мы прочитали много книг, научились выделять нужное и главное, знаем, как правильно записать в список прочитанную книгу.

На занятиях кружка мы обсуждали материал, который каждый из нас готовил, решали примеры, находили делители совершенных чисел и делали проверку.

Знания, которые мы получили при подготовке реферата, пригодятся нам в более старших классах на таких предметах как геометрия, алгебра и начала анализа, астрономия.

Умение мыслить, анализировать, логически излагать свои мысли, составлять тезисы своего выступления помогут в будущей учебе.

Узнав больше о Пифагоре и его учениках, вкладе в математику, нам захотелось больше узнать и другие факты возникновения математики, жизни великих ученых древности и современности. Этим мы будем заниматься со своими руководителями в следующем году.

Также мы будем рассказывать о том, что узнали своим одноклассникам, учащимся начальной школы во время проведения декады математики в школе.

Терминологический указатель

Аксиома – очевидная, установленная на практике истина, не требующая доказательств.

Арифметика («арифмос») – «число» (в переводе с греческого).

Геометрия («геометрео») – «землемерие».

Гипотенуза («ипотенуза») – в переводе с греческого языка означает «тянущаяся под чем-либо», «стягивающая».

Диагональ («диагониос») – «диа» — через, «гониос» — угол, т. е. прямая, проходящая через вершины углов.

Катет («катетос») – в переводе с греческого языка означает «отвес», «перпендикуляр».

Квадратное уравнение – уравнение вида: ax2 + by2 + c = 0, x2 + y2 = z2

Клинопись – письмо клиньями в странах Древнего Востока.

Папирус – высокий тростник в Древнем Египте, используемый для письма.

Пифагорейцы – ученики Пифагора – ввел Аристотель.

Пропорция – равенство двух отношений.

Теорема («теорео») – «рассматриваю», «обдумываю» — математическое утверждение, требующее доказательства.

Источник: www.hintfox.com

Биография Пифагора еще при жизни учёного обросла всевозможными легендами, порой совсем фантастическими. Не оставив о себе никаких личных записей, Пифагор остается значимой фигурой как в философии, так и в математике.

Пифагор (Pythagoras) - древнегреческий философ и математик

Биография древнегреческого философа, математика и мистика Пифагора достоверно неизвестна. Он не оставил о себе никаких записей, и единственными источниками о его жизни являются сочинения учеников и последователей учёного. До нас дошло огромное количество свидетельств о его жизни, но многие из них настолько фантастические и полны домыслов, что может говорить о его популярности, хотя и ставит в трудное положение историков. Примерную дату рождения Пифагора исследователи ставят между 570 и 590 годами до н.э. Из сочинения его ближайшего ученика Аристоксена нам известно, что Пифагор провёл детство на острове Самос, недалеко от побережья современной Турции. Его отец по разным версиям был либо купцом, либо камнерезом, что наиболее вероятно. Пифагор был хорошо образован, обучался игре на лире и стихосложению, мог декларировать сочинения Гомера. Уже в юности у него появились задатки к научной деятельности, которые замечали старшие его учителя – Ферекид, Анаксимандр, Гермодамант и Фалес, последний из которых оказал большое влияние на интерес Пифагора к математике и астрономии.

Повзрослевшему учёному уже становится тесен родной Самос, и он отправляется в путешествие, сведения о котором также очень разнятся. Тем не менее, авторы пишут, что Пифагор побывал в Милете, Египте, в халдейских землях, Вавилоне, на Крите и еще во многих местах, но эти данные не могут считаться достоверными. Самой достоверной считается версия Порфирия о том, что в возрасте 40-ка лет Пифагор уезжает в Италию и обосновывается в греческом городе-колонии Кротон, где и произошел расцвет его философской деятельности. Здесь он открывает свою школу, ученики которой впоследствии стали называться «пифагорейцами». Это был своего рода религиозный орден с большим уклоном в этику и мораль. В возрасте 60-ти лет Пифагор женится на своей ученице Теано, от брака с которой у учёного была дочь Дамо и сыновья Аримнест и Телавг. Вскоре из-за противоречий с местной властью Пифагор вынужден был уехать в другую греческую колонию – в город Метапонт. Большинство авторов указывают, что именно здесь он и умер, но дата смерти учёного также остаётся неизвестной. Широко используется приблизительный период с 500 по 490 годы до н.э. в качестве даты смерти Пифагора.

Традиционно считается, что до нас не дошли произведения самого Пифагора, существует версия, что он вообще не записывал свои труды. Из-за его большой популярности многие произведения приписывали авторству Пифагора, даже те, которые были написаны намного позднее. Интересным является и то, что при жизни и спустя примерно 150 лет Пифагор был известен не как учёный-математик, а как знаменитый мистик, эксперт по религиозным обрядам и чудотворец. Но, конечно, математическая деятельность стала главной для изучения в более позднем периоде вплоть до сегодняшнего дня.

Известная еще за более чем 2000 лет до Пифагора в Египте, Вавилоне и Китае, теорема о равенстве суммы квадратов длин катетов и квадрата длины гипотенузы прямоугольного треугольника получила своё название именно в честь этого ученого благодаря античным авторам. Теорема Пифагора, может быть выражена следующим образом:

a2 + b2 = c2, где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника.

На данный момент в науке существует 367 различных доказательств теоремы. Такое внушительное число доказательств может объясняться тем, что значение теоремы действительно фундаментально для геометрии. Собственно вклад Пифагора в теорему состоит в том, что он использовал алгебраические методы для вычисления «пифагоровых троек» — упорядоченного набора трёх натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнение, указанное выше.

Одно из доказательств, предложенное Евклидом, основывается на методе площадей. К сторонам треугольника строятся квадраты, и доказывается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, которые построены на катетах. Это доказательство получило название «Пифагоровы штаны», а фраза «Пифагоровы штаны на все стороны равны» используется для запоминания теоремы школьниками.

Другое изобретение учёного, так же известное всем нам со школы, это таблица Пифагора, больше известная как таблица умножения. Этой таблицей активно пользовались ученики его школы. Таблица Пифагора записывалась в виде квадрата 10 на 10, но не цифрами, а греческими и финикийскими буквами с чертой над каждой из них.

Учение Пифагора было основано на том, что всё во Вселенной есть некие числа, а отношения между ними – математические. В этом смысле представляют большой интерес математические изыскания Пифагора в музыке. Казалось бы, как может сочетаться изучение музыки и такой строгой науки, как математика? Но именно благодаря Пифагору появилось учение о «пифагоровом строе» — математическое выражение частотных отношений между ступенями звукоряда. Он установил математическую зависимость гармонической вибрации струн лиры к длине струн. Пифагоров строй так же может применяться к другим инструментам.

Другим интересным изобретением учёного была так называемая «кружка Пифагора», иначе именуемая «кружка жадности». Эта кружка представляет собой обычную на первый взгляд чашу, но в центре располагается специальная колонка, внутри которой проходит изогнутый канал от дна чаши, выходящий наружу. Суть этого изобретения заключается в том, что если перелить жидкости больше положенной метки, то всё содержимое выльется через этот канал по закону сообщающихся сосудов. По легенде кружка использовалась для того, чтобы пьющий из неё вино не выпивал слишком много, а мог наслаждаться напитком. По другой версии из таких кружек поили рабов для экономии воды, дефицит которой был на Самосе.

Мы никогда не сможем точно установить, какой реальный вклад в науку внёс Пифагор. Став поистине легендарной личностью уже при жизни, Пифагор и его биография обросли множественными домыслами и историями. Но, несомненно, философское учение Пифагора сыграло свою роль в его популярности, и только потом другие учёные смогли оценить по достоинству его математический гений. Стремление увидеть арифметическую закономерность во всём и представление, что всё есть числа, являлись одной из составляющих мистической философии пифагорейцев. Они превозносили целые положительные числа, которые потом изображали точками и располагали в виде правильных геометрических фигур. Они представляли числа «мужскими» и «женскими» (чётными и нечётными соответственно), изучали их свойства. Школа, открытая Пифагором, просуществовала достаточно долго, неся арифметическую мистику своей философии сквозь время и привлекая всё больше последователей.

В память о Пифагоре со времен античности назывались сочинения, открытия и общественно-значимые места. В современном мире существует город Пифагорион на острове Самос, названный в честь своего знаменитого жителя, лунный кратер, музей-мастерская в Швеции, одно из учебных зданий в Кембридже и, конечно, появившиеся в разное время математические теоремы, методы и фигуры так или иначе связанные с деятельностью Пифагора в математике.

Источник: calculator888.ru

ОТКРЫТИЯ ПИФАГОРА

Пифагор Самосский, древнегреческий философ, великий посвященный Земли, политический и религиозный деятель, математик, основатель пифагореизма. Его главное жизненное понятие — «Все есть Число». Так обычно указывается в энциклопедиях и его жизнеописаниях.

Но то, кем был, кто есть ныне и кем будет Пифагор в будущем, остается космической Тайной…

Он – гениальнейший ученый, великий посвященный философ, мудрец, основатель прославленной школы пифагорейцев и духовный учитель целого ряда выдающихся философов с мировым именем. Пифагор стал родоначальником учений о Числах, Музыке небесных сфер и Космосе, создал основу монадологии и квантовой теории строения материи. Он сделал открытия огромной важности в области таких наук, как математика, музыка, оптика, геометрия, астрономия, теория чисел, теория суперструн (Земного монохорда), психология, педагогика, этика.

Свою философию Пифагор развивал на основе знаний законов взаимосвязей видимого и невидимого мира, единства духа и материи, на понятии бессмертия души и ее постепенного очищения через переселение (теория инкарнации). Множество легенд связано с именем Пифагора, а его ученики смогли завоевать себе славу и стали выдающимися людьми, благодаря трудам которых нам стали известны основы учения Пифагора, его высказывания, практические и этические советы, а также теоретические постулаты и духовные сказки Пифагора.

Возможно, не каждый из нас сможет вспомнить теорему Пифагора, но присказку «Пифагоровы штаны на все стороны равны» знают все. Пифагор, кроме всего прочего, был довольно хитрым человеком. Всех своих учеников — пифагорейцев, великий ученый научил простой тактике, которая была очень выгодна для него: сделал открытия – припиши их своему учителю. Может быть, это довольно спорное суждение, но именно благодаря своим ученикам за Пифагором числится действительно невероятное количество открытий:

— В геометрии: знаменитая и любимая всеми теорема Пифагора, а также построение отдельных многогранников и многоугольников.

— В географии и астрономии: одним из первых выразил гипотезу, что Земля круглая, а также считал, что мы не одиноки во Вселенной.

— В музыке: определил, что звук зависит от длины флейты или струны.

— В нумерологии: в наше время нумерология стала известной и довольно популярной, но именно Пифагор совместил числа с прогнозами на будущее.

Пифагор учил, что как начало, так и конец всего существующего заключается в определенной абстрактной величине, так называемой Монадой. Она представляет собой непознаваемую абсолютную пустоту, хаос, прародину всех богов и вместе с тем вмещает в себя полноту бытия в форме божественного Света. Монада, как эфир, пронизывает все вещи, однако не находится в какой-то одной из них. Это – сумма всех чисел, которая рассматривается всегда как неделимое целое, как единица.

Пифагорейцы изображали Монаду фигурой, которая состоит из десяти точек – так называемых узлов. Все эти десять узлов, названных пифагорейцами тетрактисом, между собой создают девять равносторонних треугольников, которые олицетворяют всю полноту всеобщей пустоты и Крест Животворящий.

Считается также, что Пифагор создал основы планиметрии, ввел широкое и обязательное использование доказательств в геометрии, создал учение о подобии.

Все эти открытия Пифагор сделал более двух с половиной тысячелетий назад! Открытия Пифагора, как и его верных учеников, живут и будут жить в будущем.

История теоремы Пифагора

Великие открытия Пифагора-математика нашли свое применение в разные времена и по всему миру. В наибольшей степени это касается теоремы Пифагора.

Например, в Китае особое внимание в этом плане следует обратить на математическую книгу Чу-пей, в которой так сказано об известном пифагоровом треугольнике, имеющем стороны 3, 4, 5: «Если разложить прямой угол на составные части, тогда соединяющая концы всех его сторон линия, будет 5, тогда как основание будет 3 и высота 4». Эта же книга демонстрирует рисунок, который аналогичен одному из чертежей в индусской геометрии Басхары.

Выдающийся немецкий исследователь истории математики Кантор считает, что равенство Пифагора 3?+4?=5? знали уже в Египте приблизительно в 2300 годах до н. э., в период правления царя Аменемхета I (в соответствии с папирусом 6619 Берлинского музея). Как считает Кантор, гарпедонапты, или так называемые «натягиватели веревок», прямые углы строили с помощью прямоугольных треугольников, стороны которых были — 3, 4, 5. Их способ построения довольно легко воспроизводится. Если взять кусок веревки длиной 12 м, привязать к нему цветные полоски – одну на трехметровом расстоянии от одного конца, а другую в 4 метрах от другого, то прямой угол будет заключен между двумя сторонами — 3 и 4 метра. Можно возразить гарпедонаптам, что такой способ построения будет лишним, если взять, к примеру, деревянный треугольник, которым пользуются все плотники. Действительно существуют египетские рисунки, например, с изображением столярной мастерской, на которых встречается такой инструмент. Но тем не менее, факт остается фактом и пифагоров треугольник использовался еще в древнем Египте.

Немногим больше сведений есть о теореме Пифагора, применяемой у вавилонян. В найденном тексте, который относят к временам Хаммураби, а это 2000 год до н. э., есть приблизительное определение гипотенузы прямоугольного треугольника. Следовательно, это подтверждает, что в Двуречье уже производили вычисления со сторонами прямоугольных треугольников, хотя бы в некоторых случаях. Математик Ван-дер-Варден из Голландии, с одной стороны, используя сегодняшний уровень знаний о вавилонской и египетской математике, и с другой, основываясь на тщательном изучении греческих источников, пришел к таким выводам: «Заслуга первых греческих математиков: Фалеса, Пифагора и пифагорейцев – не открытие математики, а ее обоснование и систематизация. Основанные на расплывчатых представлениях вычислительные рецепты они смогли превратить в точную науку».

У индусов, наряду с вавилонянами и египтянами, геометрия тесно связывалась с культом. Вполне возможно, что теорема Пифагора в Индии была известна уже в 18 веке до н. э.

«Перечень математиков», который предположительно составил Евдем, говорит о Пифагоре так: «Как сообщают, занятие данной отраслью знания (геометрией) Пифагор превратил в настоящую науку, проанализировав ее основы с высочайшей точки зрения и исследовав ее теории более умственным и менее материальным образом».

Дерево Пифагора

Дерево Пифагора — один из видов фрактала, который основан на фигуре, известной под именем «Пифагоровы штаны».

Доказывая свою знаменитую теорему, Пифагор построил фигуру, в которой на каждой стороне прямоугольного треугольника были расположены квадраты. Спустя время эта фигура Пифагора превратилась в целое дерево. Первым дерево Пифагора построил в период второй мировой войны А. Босман, пользуясь обычной чертежной линейкой.

Одним из основных свойств дерева Пифагора считается то, что когда площадь первого квадрата составляет единицу, то на каждом из уровней сумма площадей квадратов также будет равна единице. Классическое дерево Пифагора имеет угол, равный 45 градусам, но также можно построить обобщённое дерево Пифагора, используя другие углы. Такое дерево называют обдуваемым ветром деревом Пифагора. Если изобразить только отрезки, которые соединяют каким-либо образом определенные «центры» треугольников, тогда получится обнаженное дерево Пифагора.

Дерево Пифагора — это фрактал, сгенерированный следующим образом:

  • Начните с единичного квадрата. Затем, выбрав одну из его сторон, как основание (в анимации нижняя сторона является основанием):

  • Постройте прямоугольный треугольник на противоположной основанию стороне с гипотенузой, совпадающей с этой стороной, и отношением сторон 3:4:5. Заметьте, что меньший катет должен быть справа относительно основания (см. анимацию).

  • На каждом катете прямоугольного треугольника постройте квадрат со стороной, совпадающей с этим катетом.

  • Повторите это процедуру для обоих квадратов, считая за основания их стороны, касающиеся треугольника.

  • Фигура, получившаяся после бесконечного числа итераций, является деревом Пифагора.

Источник: infourok.ru


Categories: Другое

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.